Løsningsforslag S2 eksempelsett 2022

Oppgave 1-1

1-1a

\int_{0}^{1} 4 x^{2} + 3 d x = {[\frac{4}{3} x^{3} + 3 x]}_{0}^{1} = \frac{4}{3} + 3 \cdot 1 - 0 = \frac{4}{3} + \frac{9}{3} = \underset{―}{\underset{―}{\frac{13}{3}}}

1-1b

\begin{array}{r} \int 4 x \sqrt{x^{2} + 2} d x, u = x^{2} + 2 ⟹ \frac{d u}{d x} = 2 x ⟺ d u = 2 x d x \\ \int 2 \sqrt{u} d u = 2 \int u^{\frac{1}{2}} d x = 2 \frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C = \frac{4}{3} (x^{2} + 2) + C^{'} \end{array}

Del 1 oppgave 3

Om oppgaveteksten

Denne oppgaven finnes i to ulike varianter (sannsynligvis på grunn av en skrivefeil i løsningsforslag eller oppgavesettet. Den ene varianten sier at summen av de tre første leddene er 38/9, mens den andre varianten sier at summen av de seks første leddene er 38/9. Løsningsmetoden min vil fungere uansett hvilken variant man tenker seg, men det er nok lurt å heller formel for sum av geometrisk rekke ( $s_{n} = a_{1} \frac{k^{n} - 1}{k - 1}$ ) enn min framgangsmåte dersom man får oppgitt summen av et høyt antall ledd. Min metode er enkel når du bare trenger å tenke på 3 ledd, men skal du ta hensyn til 100 så må du regne mye!

Oppgavetekst

Summen av en uendelig geometrisk rekke konvergerer mot 6.

Sum av tre første ledd er 38/9

Hva er sum av de fire første?

Løsningsforslag

Jeg kaller første ledd i rekka for $x$ . Vet da at de tre første leddene må være:

x + x k + x k^{2} = \frac{38}{9}

Som kan faktoriseres til

x (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

Summen for uendelig geometrisk rekke gir:

\frac{x}{1 - k} = 6

Løser den likningen for $x$ og setter inn i uttrykket for sum av 3 første ledd

x = 6 (1 - k)

6 (1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9}

(1 - k) (1 + k + k^{2}) = \frac{38}{9 \cdot 6} = \frac{38}{54} = \frac{19}{27}

1 + k + k^{2} - k - k^{2} - k^{3} = \frac{19}{27}

1 - k^{3} = \frac{19}{27}

k^{3} = 1 - \frac{19}{27} = \frac{8}{27} \Rightarrow \underset{―}{k = \frac{2}{3}}

Vi har nå funnet $k$ og kan enkelt finne $x$ :

x = 6 (1 - k) = 6 (1 - \frac{2}{3}) = 6 \frac{1}{3} = 2

Ledd 4 må være:

x k^{3} = 2 \cdot \frac{8}{27} = \frac{16}{27}

Summen av de fire første leddene blir da summen av de tre første pluss dette fjerde leddet

\frac{38}{9} + \frac{16}{27} = \frac{114}{27} + \frac{16}{27} = \frac{130}{27}

Summen av fire første ledd er

\underset{―}{\underset{―}{\frac{130}{27}}}